已知数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=an-qan-1．记bn=an+1-an，求证：数列{bn}是

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．
（1）记b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）当q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）时，记A_n=C_n¹a₁+C_n²a₂+…+C_nⁿa_n，求limn→∞An2n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1得a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），即b_n=qb_n-1（n≥2）（2分）
又a₁=1，a₂=2，所以b₁=a₂-a₁=1，又q≠0．
所以{b_n}是以1为首项，q为公比的等比数列．（4分）b_n=q^n-1（5分）
注：在证明中若从b_n=qb_n-1（n≥2）得出{b_n}是等比数列扣（1分）．
（2）由b_n=a_n+1-a_n及b_n=q^n-1得a_n+1-a_n=q^n-1（6分）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁
=q^n-2+q^n-3+…+q+1+（18分）
当q=1时a_n=n（9分）
当q≠1时an=1-qn-11-q+1（10分）
（3）由q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1）知an=1-qn-11-q+1=2-q1-q+qn-1q-1An=C1na1+C2na2+…+Cnnan=2-q1-q(C1n+C2n+…+Cnn)+1q-1(C1nq0+C2nq1+…+Cnnqn-1)
=2-q1-q(2n-1)+1q(q-1)[(1+q)n-1]（13分）An2n=q-2q-1(1-12n)+1q(q-1)[(1+q2)n-12n]
因为q∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，1），所以-2＜q+1＜2⇒-1＜q+12＜1
则limn→∞(1+q2)n=0，又limn→∞12n=0
所以limn→∞An2n=limn→∞{q-2q-1(1-12n)+1q(q-1)[(1+q2)n-12n]}=q-2q-1（16分）

解析

1-qn-11-q

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，a2=2，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：