等差数列{an}的各项均为正数，a1=1，前n项和为Sn．等比数列{bn}中，b1=1，且b2S2=6，b2+S3=8．求数列{an}与{bn}的通项公式

题文

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，前n项和为S_n．等比数列{b_n}中，b₁=1，且b₂S₂=6，b₂+S₃=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求1S1+1S2+…+1Sn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，d＞0，{b_n}的等比为q
则a_n=1+（n-1）d，b_n=q^n-1
依题意有q(2+d)=6q+3+3d=8，解得d=1q=2或d=-43q=9（舍去）
故a_n=n，b_n=2^n-1
（Ⅱ）由（1）可得Sn=1+2+…+n=12n(n+1)
∴1sn=2(1n-1n+1)
∴1S1+1S2+…+1Sn=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]
=2(1-1n+1)=2nn+1．

解析

q(2+d)=6q+3+3d=8

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}的各项均为正数，a1=1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：