已知函数f=2，数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，若a1=f，a3=f，b1

题文

已知函数f（x）=（ x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q+1），b₃=f（q-1）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}的前n项和为S_n，且对一切自然数n，均有c1b1+c2b2+…+cnbn=a_n+1，求limn→∞S2n+1S2n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₃-a₁=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即d²-（d-2）²=2d，解得d=2．
∴a₁=f（2-1）=0．∴a_n=2（n-1）．
∵b3b1=q2，∴f(q-1)f(q+1)=q2=(q-2)2q2．
∵q≠0，q≠1，∴q=-2．
又b₁=f（q+1）=4，∴b_n=4•（-2）^n-1．
（Ⅱ）由题设知 c1b1=a2，∴c₁=a₂b₁=8．
当n≥2时，c1b1+c2b2+…+cnbn=a_n+1，c1b1+c2b2+…+cn-1bn-1=an，
两式相减，得 cnbn=an+1-an=2．
∴c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2）．
∴S_2n+1=c₁+c₂+c₃+…+c_2n+1=8+2（3+3²+…+3²ⁿ）=8+2×32n+1-33 -1=3²ⁿ⁺¹+5．
即S_2n=3²ⁿ⁺¹+5-2×3²ⁿ=3²ⁿ+5．
∴limn→∞S2n+1S2n=limn→∞32n+1+532n+5=3

解析

b3b1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x-1）2，数列{a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：