等差数列{an}中，，前n项和为Sn，S2=4且S4=12，等比数列{bn}的公比为8，且b3=64．求an与bn；求1S1+1S2+…+1Sn．

题文

等差数列{a_n}中，，前n项和为S_n，S₂=4且S₄=12，等比数列{b_n}的公比为8，且b₃=64．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）求1S1+1S2+…+1Sn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
（Ⅰ）由题意得：S2=2a1+d=4S4=4a1+6d=12，
解得a₁=32，d=1
∴an=n+12，
q=8b3=64，解得b₁=1∴b_n=8^n-1；
（Ⅱ）∵Sn=n(n+2)2
∴1Sn=1n-1n+2
∴1S1+1S2+…+1Sn=（11-13）+（12-14）+（13-15）+…+（1n-1n+2）
=1+12-1n+1-1n+2=3n2-13n2(n+1)(n+2)．

解析

S2=2a1+d=4S4=4a1+6d=12

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}中，，前n项和为Sn，S.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：