已知各项均为正数的数列{an}满足：a1=3，an+1+ann+1=8an+1-an(n∈N*)，设bn=1an，Sn=b12+b22+…+bn2．求数列

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：a1=3，an+1+ann+1=8an+1-an(n∈N*)，设bn=1an，S_n=b₁²+b₂²+…+b_n²．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：Sn＜14． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵an+1+ann+1=8an+1-an，
∴a_n+1²-a_n²=8（n+1）
∴a_n²=（a_n²-a_n-1²）+（a_n-1²-a_n-2²）+…+（a₂²-a₁²）+a₁²=8[n+（n-1）+…+2]+9=（2n+1）²
∴a_n=2n+1．…（5分）
（II）b2n=1a2n=1(2n+1)2＜14n(n+1)=14(1n-1n+1)∴Sn＜14[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=14(1-1n+1)＜14…（12分）

解析

an+1+ann+1

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}满足：a1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：