已知点A(1，13)是函数f=ax的图象上一点，等比数列an的前n项和为f-c，数列bn的首项为c，且前n项和Sn满足

题文

已知点A(1，13)是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，数列b_n（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足Sn-Sn-1=Sn+Sn-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）若数列{1bnbn+1}的前n项和为T_n，问满足T_n＞10002011的最小整数是多少？
（3）若Cn=-2bna n，求数列C_n的前n项和P_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵点A(1，13)是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点f(1)=a=13
∵等比数列a_n的前n项和为f（n）-c
∴当n≥2时，an=[f(n)-c]-[f(n-1)-c]=-23n
∵{a_n}为等比数列
∴公比q=anan-1=13
∵a2=-29=a1q=[f(1)-c]•13=(13-c)•13
∴c=1，a1=-23，an=-23n（3分）
由题设可知数列b_n（b_n＞0）的首项为b₁=c=1Sn-Sn-1=Sn+Sn-1（n≥2）
∴(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=Sn+Sn-1
∴Sn-Sn-1=1
∴数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．
则Sn=n，S_n=n² b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
当n=1时，b₁=1，也满足b_n=2n-1
数列{b_n }的通项公式．b_n=2n-1（6分）
（2）∵b_n=2n-1
∴1bnbn+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)
∴Tn=1b1b2+1b2b3+1b3b4++1bnbn+1=12[(1-13)+(13-15)+(12n-1-12n+1)]=n2n+1
要使T_n＞10002011，
则n2n+1＞10002011，即n＞901011
∴满足T_n＞10002011的最小整数为91（11分）
（3）∵an=-23n，b_n=2n-1
∴Cn=-2bna n=（2n-1）•3ⁿP_n=1•3+3•3²+5•3³++（2n-1）•3ⁿ①
3P_n=1•3²+3•3³+5•3⁴++（2n-1）•3ⁿ⁺¹..②
①-②得：-2P_n=3+2（3²+3³+3⁴+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=3+2•32(1-3n-1)1-3-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6
∴P_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．（16分）

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知点A(1，13)是函数f（x）=ax.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：