设数列{an}的通项是关于x的不等式x2-x＜x的解集中整数的个数．数列{an}的前n项和为Sn．求an；设m，k，p∈N*

题文

设数列{a_n}的通项是关于x的不等式x²-x＜（2n-1）x （n∈N^*）的解集中整数的个数．数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设m，k，p∈N^*，m+p=2k，求证：1Sm+1Sp≥2Sk；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）不等式x²-x＜（2n-1）x 即x（x-2n）＜0，解得：0＜x＜2n，其中整数有2n-1个，
故 a_n=2n-1．
（2）由（1）知Sn=n(1+2n-1)2=n2，∴S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．
由1Sm+1Sp-2Sk=1m2+1p2-2k2=k2(m2+p2)-2m2p2m2p2k2=(m+p2)2(m2+p2)-2m2p2m2p2k2
≥2mp•mp-2m2p2m2p2k2=0，
即1Sm+1Sp≥2Sk．   
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则Sn=na1+n(n-1)2d=n(a1+an)2，
∵Sm+Sp-2Sk=ma1+m(m-1)2d+pa1+p(p-1)2d-[2ka1+k(k-1)d]=(m+p)a1+m2+p2-(m+p)2d-[2ka1+(k2-k)d]，
把m+p=2k代入上式化简得S_m+S_p-2S_k=m2+p2-2×(m+p2)22•d=(m-p)2d4≥0，…16分．
∴S_m+S_p≥2S_k．
又 S_m•S_p =mp(a1+am)(a1+ap)4=mp[  a12+2 a1 (am+ap)+amap]4 
≤(m+p2)2[a12+2a1ak+(am+ak2)2]4=k2(a1+ak)24=(sk2)2．
∴1Sm+1Sp=sm+sksmsp≥2sk(sk2)2=2sk，故 1Sm+1Sp≥2Sk 成立．

解析

n(1+2n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的通项是关于x的不等式x2.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：