已知数列{an}的各项均为正数，记A=a1+a2+…+an，B=a2+a3+…+an+1，C=a3+a4+…+an+2，n=1，2，…．

题文

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，n=1，2，…．
（Ⅰ）若a₁=1，a₂=3，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若公比q=2，a₁=2，令bn=2n-1an，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜m（m∈Z），求m的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）是等差数列，
所以B（n）-A（n）=C（n）-B（n），即a_n+1-a₁=a_n+2，亦即a_n+2-a_n-1=a₂-a₁=2．
故数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
于是a_n=1+（n-1）×2=2n-1
证明：（Ⅱ）若对于任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，
则B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，得a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），
即a_n+2-qa_n+1=a₂-a₁．由n=1有B（1）=qA（1），即a₂=qa₁，从而a_n+2-qa_n+1=0．
因为a_n＞0，所以an+2an+1=a2a1=q，故数列{a_n}是首项为a₁，公比为q的等比数列，
（Ⅲ）由（II）得bn=2n-12n，
∴Tn=121+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n①
12Tn= 122+323+…+2n-52n-1+2n-32n+2n-12n+1②
①-②得12Tn=121+222+223+…+22n-1+22n-2n-12n+1
=121+(121+122+…+12n-2+12n-1)-2n-12n+1=32-12n-1-2n-12n+1．
∴Tn=3-12n-2-2n-12n=3-2n+32n，
设f(n)=2n+32n，n∈N*，则由f(n+1)f(n)=2n+52n+12n+32n=2n+52(2n+3)=12+12n+3≤12+15＜1
得f(n)=2n+32n，n∈N*随n的增大而减小
∴当n→+∞时，T_n→3，又T_n＜m（m∈Z）恒成立，
∴m_min=3

解析

an+2an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均为正数，记A（n.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：