已知数列{an}的前n项和Sn可用组合数表示为Sn=Cn+33-Cn+23+Cn0．求数列{an}的通项公式；若f为关于n的多项式，且满足li

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n可用组合数表示为S_n=C_n+3³-C_n+2³+C_n⁰．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若f（n）为关于n的多项式，且满足limn→∞[Snan-f(n)]=2，求f（n）的表达式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）Sn=C3n+3-C3n+2+C0n=n2+3n+42，（3分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+1，当n=1时，a₁=S₁=4，
因此an=4 n=1n+1   n≥2.（7分）
（2）limn→∞[Snan-f(n)]=limn→∞[n2+3n+42(n+1)-f(n)]=limn→∞n2+3n+4-2(n+1)f(n)2(n+1)，
（9分）
由题设limn→∞n2+3n+4-2(n+1)f(n)2(n+1)=2，由于当多项式f（n）中n的最高次数大于或等于2时，极限不存在，
故可设f（n）=an+b，
代入得limn→∞(1-2a)n2+(3-2b-2a)n+4-2b2n+2=2，即1-2a=03-2b-2a2=2（12分）
解得a=12，b=-1，因此f(n)=12n-1．                         （14分）

解析

C3n+3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn可用组合数.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：