已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p，q∈N*，有ap+q=ap+aq求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足：an=b12+1-b222

题文

已知数列{a_n}中，a₁=2，对于任意的p，q∈N^*，有a_p+q=a_p+a_q
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：an=b12+1-b222+1+b323+1-b424+1+…+(-1)n-1bn2n+1(n∈N*)求数列{b_n}的通项公式；
（3）设C_n=3ⁿ+λb_n（n∈N^*），是否存在实数λ，当n∈N^*时，C_n+1＞C_n恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）取p=n，q=1，则a_n+1=a_n+a₁=a_n+2
∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*）
∴{a_n}是公差为2，首项为2的等差数列
∴a_n=2n（4分）
（2）∵b121+1-b222+1+b323+1-b424+1++(-1)n-1bn2n+1=an(n≥1)①
∴b121+1-b222+1++(-1)n-2bn-12n-1+1=an-1(n≥2)②
①-②得：(-1)n-1bn2n+1=2(n≥2)b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n≥2）
当n=1时，a1=b13∴b₁=6满足上式
∴b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）（9分）
（3）C_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ
假设存在λ，使C_n+1＞C_n（n∈N^*）3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）•λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ[（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）-（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）]•λ＞3ⁿ-3ⁿ⁺¹=-2•3ⁿ（-1）ⁿ（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ
当n为正偶函数时，（3•2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2•3ⁿ恒成立λ＞(-3n3•2n+2)max=(-13•(23)n+2•(13)n)max
当n=2时(-13•(23)n+2(13)n)max=-914
∴λ＞-914
当n为正奇数时，-（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ恒成立
∴λ＜(3n3•2n+2)min=(13•(23)n+2(13)n)min
当n=1时[13(23)n+2(13)n]min=38
∴λ＜38
综上，存在实数λ，且λ∈(-914，38)（16分）

解析

b121+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=2，对于任意的.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：