已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n，数列{bn}的前n项和Tn=2-bn．求数列{an}与{bn}的通项公式；设cn=anbn4，求证数列

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+2n，数列{b_n}的前n项和T_n=2-b_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=anbn4，求证数列{c_n}的前n和R_n＜4；
（III）设c_n=a_n+（-1）ⁿlog₂b_n，求数列{c_n}的前2n和R_2n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+2n，
∴a₁=S₁=2+2=4，
a_n=S_n-S_n-1=（2n²+2n）-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，
当n=1时，4n=4=a₁，
∴a_n=4n．
∵数列{b_n}的前n项和T_n=2-b_n，
∴当n=1时，T₁=b₁=2-b₁，解得b₁=1．
当n＞1时，T_n=2-b_n，T_n-1=2-b_n-1，
∴T_n-T_n-1=b_n=b_n-1-b_n，∴2b_n=b_n-1，
∴bnbn-1=12，
∴数列{b_n}是以首项为1，公比为12的等比数列，
∴bn=(12)n-1，n∈N^*．
（II）∵cn=anbn4=n•(12)n-1，
∴数列{c_n}的前n和：
R_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=1•（12）⁰+2×（12）¹+3×（12）²+…+（n-1）•（12）^n-2+n•（12）^n-1，①
∴12Rn =1•（12）¹+2×（12）²+3×（12）³+…+（n-1）•（12）^n-1+n•（12）ⁿ，②
①-②，得12Rn=1+12+（12）²+（12）³+…+（12）^n-1-n•（12）ⁿ
12Rn=1×[1-(12)n]1-12-n•（12）ⁿ
=2-(12)n+1-n•（12）ⁿ，
∴Rn=4-2(n+2)(12)n＜4；
（ III）∵c_n=a_n+（-1）ⁿlog₂b_n
=4n+(-1)nlog2(12)n-1
=4n+（-1）ⁿ（1-n），
∴数列{c_n}的前2n和
R_2n=[4×1+（-1）¹（1-1）]+[4×2+（-1）²（1-2）]+[4×3+（-1）³（1-3）]+…+[4×2n+（-1）²ⁿ（1-2n）]
=4（1+2+3+…+2n）+[0-1+2-3+…+（2n-2）-（2n-1）]
=4×2n(1+2n)2-n
=8n²+3n．
∴R_2n=8n²+3n．

解析

bnbn-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：