已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n．数列{bn}中，b1=1，bn=abn-1．求数列{an}的通项公式；若存在常数t使

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．数列{b_n}中，b₁=1，bn=abn-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在常数t使数列{b_n+t}是等比数列，求数列{b_n}的通项公式；
（3）求证：①b_n+1＞2b_n；②1b1+1b2+1b3+…+1bn＜2-1bn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）n=1时，a₁=S₁=3，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
且n=1时也适合此式，故数列{a_n}的通项公式是a_n=2n+1；
（2）依题意，n≥2时，bn=abn-1=2bn-1+1，
∴b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即存在常数t=2使数列{b_n+t}是等比数列b_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即b_n=2ⁿ-1．
（3）①b_n+1-2b_n=（2ⁿ⁺¹-1）-2（2ⁿ-1）=1＞0所以b_n+1＞2b_n对一切自然数n都成立．
②由b_n+1＞2b_n得1bn+1＜12bn，设S=1b1+1b2+1b3++1bn，
则S＜1b1+12b1+12b2+…+12bn-1=1b1+12(S-12bn)，所以S＜2b1-1bn=2-1bn．

解析

1bn+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：