已知在数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，a1=1且4Sn=an•an+1+1．求数列{an}的通项公式；令bn=an•3n-1，数列{b

题文

已知在数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1且4S_n=a_n•a_n+1+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•3^n-1，数列{b_n}的前n项和为T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵4S_n=a_n•a_n+1+1    ①
∴4S_n-1=a_n-1a_n+1②
②-①得4a_n=a_n（a_n+1-a_n-1）
∵a_n≠0
∴a_n+1-a_n-1=4
∵a₁=1得a₂=3
∴奇数项成以4为公差的等差数列；偶数项成以4为公差的等差数列
∴an=1+4(n+12-1)=2n-1(n为奇数)3+4(n2-1)=2n-1(n为偶数)
∴a_n=2n-1
（2）∴b_n=（2n-1）•3^n-1
∴T_n=1×3⁰+3×3¹+5×3²+..+（2n-1）×3^n-1
3T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ  
∴-2T_n=1×3⁰+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n-1）×3ⁿ
∴-2Tn=2(1-3n)1-3-(2n-1)×3n-1
所以T_n=（n-1）3ⁿ+1

解析

1+4(n+12-1)=2n-1(n为奇数)3+4(n2-1)=2n-1(n为偶数)

考点

据考高分专家说，试题“已知在数列{an}中，Sn是数列{an}.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：