设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn且an=22Sn-2；写出数列{an}的前三项；求数列{an}的通项公式，并写出推证过程；令bn=4

题文

设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n且an=22Sn-2；
（Ⅰ）写出数列{a_n}的前三项；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式，并写出推证过程；
（Ⅲ）令bn=4an•an+1，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵an=22Sn-2
n=1时可得，a1=22s1-2∴a₁=2
把n=2代入可得a₂=6，n=3代入可得a₃=10；
（Ⅱ）8S_n=a_n²+4a_n+4…（1）
8S_n+1=a_n+1²+4a_n+1+4…（2）
（2）-（1）得8a_n+1=a_n+1²-a_n²+4a_n+1-4a_n
（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0
∵a_n+1+a_n＞0
∴a_n+1-a_n-4=0
a_n+1-a_n=4
∴{a_n}是以2为首项，4为公差的等差数列．a_n=a₁+（n-1）d=4n-2
（ III）bn=4an•an+1=4(4n-2)(4n+2)=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)
=12(1-12n+1)=n2n+1．

解析

2Sn

考点

据考高分专家说，试题“设{an}是正数组成的数列，前n项和为S.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：