已知数列{an}是递增数列，且满足a3•a5=16，a2+a6=10．若{an}是等差数列，求数列{an}的通项公式；对于中{an}，令bn=

题文

已知数列{a_n}是递增数列，且满足a₃•a₅=16，a₂+a₆=10．
（1）若{a_n}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）对于（1）中{a_n}，令bn=(an+7)•2n3，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）根据题意：a₂+a₆=10=a₃+a₅，又a₃•a₅=16，
所以a₃，a₅是方程x²-10x+16=0的两根，且a₃＜a₅，
解得a₅=8，a₃=2，所以d=3，
∴a_n=3n-7．…（4分）
（2）bn=(an+7)•2n3=n•2n，则
T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得
-Tn=21+22+23+…+2n-1+2n-n•2n+1=2(1-2n)1-2-n•2n+1，
所以T_n=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…（12分）

解析

2n3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是递增数列，且满足a3•.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：