已知数列{an}中，a1=1，且点在函数f=x+2的图象上．求数列{an}的通项公式；在数列{an}中依次取出

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）在数列{a_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2^n-1项，按取出顺序组成新的数列{b_n}，写出数列{b_n}的前三项b₁，b₂，b₃，并求数列{b_n}的通项b_n及前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上，
∴a_n+1=a_n+2．（2分）．
∴a_n+1-a_n=2，即数列a_n是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列，（4分）．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（Ⅱ）依题意知：b₁=1，b₂=3，b₃=7
bn=2•2^n-1-1=2ⁿ-1
所以S_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=2ⁿ⁺¹-n-2
  即数列{b_n}的前n项和S_n=2(1-2n)1-2-n=2ⁿ⁺¹-n-2

解析

2(1-2n)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，且点（an.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：