已知函数F(x)=3x-22x-1(x≠12)求F(12011)+F(22011)+…+F(20102011)；已知数列{an}满足a1=2，an+

题文

已知函数F(x)=3x-22x-1(x≠12)
（1）求F(12011)+F(22011)+…+F(20102011)；
（2）已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（3） 求证：a₁a₂a₃…a_n＞2n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为F(x)+F(1-x)=3x-22x-1+3(1-x)-22(1-x)-1=3，
所以由倒序相加可得：2[F(12011)+F(22011)+…+F(20102011)]
=[F（12011）+F（20102011）]+…+[F（20102011）+F（12011）]
=3×2010=6030，
则F(12011)+F(22011)+…+F(20102011)=3015；
（2）由a_n+1=F（a_n），两边同时减去1，得an+1-1=an-12an-1，
所以1an+1-1=2an-1an-1=2+1an-1，
故{1an-1}是以2为公差、1为首项得等差数列．
所以1an-1=2n-1，由此an=2n2n-1
（3）因为（2n）²＞（2n）²-1=（2n+1）（2n-1），
所以2n2n-1＞2n+12n，于是21＞32，43＞54，…，2n2n-1＞2n+12n
所以a1a2…an=(a1a2…an)2=21•21•43•43…2n2n-1•2n2n-1
＞21•32•43…2n2n-1•2n+12n=2n+1．

解析

3x-22x-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数F(x)=3x-22x-1(x≠.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：