已知数列{an}的前n项和为Sn=n+12an，且a1=2．数列{bn}满足b1=0，b2=2，bn+1bn=2nn-1，n=2，3，…．求数

题文

已知数列{a_n}的前n项和为 S_n=n+12an（n∈N*），且a₁=2．数列{b_n}满足b₁=0，b₂=2，bn+1bn=2nn-1，n=2，3，…．
（Ⅰ）求数列 {a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 {b_n} 的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于 n∈N^*，2b1a1+2b2a2+…+2bnan≥2n-1-1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S_n=n+12an，∴2S_n=（n+1）a_n①，∴2S_n+1=（n+2）a_n+1②，
∴①-②可得2a_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
∴an+1an=n+1n
当n≥2时，an=a1×a2a1×…×anan-1=2n
∵a₁=2
∴数列 {a_n} 的通项公式为a_n=2n；
（Ⅱ）∵b₁=0，b₂=2，bn+1bn=2nn-1，n≥2，
∴n≥3时，bn=b2×b3b2×…×bnbn-1=2n-1(n-1)
b₁=0，b₂=2满足上式，
∴数列 {b_n} 的通项公式为bn=2n-1(n-1)；
（Ⅲ）证明：2bkak=2k-1(1-1k)
当k≥2时，1-1k≥ 1-12=12
∴2bkak=2k-1(1-1k)≥2k-2
∵b₁=0，
∴2b1a1+2b2a2+…+2bnan≥0+1+2+…+2n-2=2n-1-12-1=2^n-1-1
∴对于n∈N^*，2b1a1+2b2a2+…+2bnan≥2n-1-1

解析

n+12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn=n+1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：