等差数列{an}前n项和为Sn，且S5=45，S6=60．求{an}的通项公式an；若数列{an}满足bn+1-bn=an且b1=3，求

题文

等差数列{a_n}前n项和为S_n，且S₅=45，S₆=60．
（1）求{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{a_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*）且b₁=3，求{1 bn}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₅=45，S₆=60，∴5a1+5×42d=456a1+6×52d=60，解得a1=5d=2．∴a_n=5+（n-1）×2=2n+3．
（2）∵b_n+1-b_n=a_n=2n+1，b₁=3，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=[2（n-1）+3]+[2（n-2）+3]+…+（2×1+3）+3
=2×n(n-1)2+3n
=n²+2n．
∴1bn=1n(n+2)=12(1n-1n+2)．
∴T_n=12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+…+(1n-1-1n+1)+(1n-1n+2)]
=12(1+12-1n+1-1n+2)
=34-12(n+1)-12(n+2)．

解析

5a1+5×42d=456a1+6×52d=60

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}前n项和为Sn，且S5=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：