设函数f(x)=2x+33x，作数列{bn}：b1=1，bn=f(1bn-1)(n≥2)，求和：Wn=b1b2-b2b3+b3b4-…+(-1)n-1•bnbn

题文

设函数f(x)=2x+33x，作数列{bn}：b1=1，bn=f(1bn-1)(n≥2)，
求和：Wn=b1b2-b2b3+b3b4-…+(-1)n-1•bnbn+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（x）=2x+33x=23+1x，bn=f(1bn-1)，n≥2，
∴bn=23+bn-1，
∵b₁=1，∴{b_n}是首项为1，公差为23的等差数列，
∴bn=2n+13，
∴bnbn+1=19(4n2+8n+3)，
①当n为偶数时：
∵b2=53，bn=2n+13，
∴W_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-2×23（b₂+b₄+…+b_n）
=-43×[n4(53+2n+13)]
=-19(2n2+6n)；
②当n为奇数时：
∵b2=53，bn-1=2n-13，
∴W_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_n-2b_n-1-b_n-1b_n+b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n-1（b_n-2-b_n）+b_nb_n+1
=-2×23(b2+b4+…+bn-1)+b_nb_n+1
=-43×[n-14(53+2n-13)]+19(4n2+8n+3)
=19(2n2+6n+7)．
故Wn=-19(2n2+6n)，n为偶数19(2n2+6n+7)，n为奇数．

解析

2x+33x

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=2x+33x，作数列{b.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：