各项均为正数的数列{an}，满足a1=1，a2n+1-a2n=2．求数列{an}的通项公式；求数列{an22n}的前n项和Sn．

题文

各项均为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a2n+1-a2n=2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{an22n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为an+12-an2=2，
所以数列{a2n}是首项为1，公差为2的等差数列．…（2分）
所以a2n=1+(n-1)×2=2n-1．…（4分）
因为a_n＞0，所以an=2n-1（n∈N^*）．…（6分）
（2）由（1）知，an=2n-1，所以an22n=2n-12n．…（7分）
所以Sn=12+322+523+…+2n-32n-1+2n-12n，①…（8分）
则12Sn=122+323+524+…+2n-32n+2n-12n+1，②…（9分）
①-②得，12Sn=12+222+223+224+…+22n-2n-12n+1…（11分）
=12+2(122+123+124+…+12n)-2n-12n+1=12+2×14(1-12n-1)1-12-2n-12n+1…（12分）
=32-2n+32n+1．…（13分）
所以Sn=3-2n+32n．…（14分）

解析

a2n

考点

据考高分专家说，试题“各项均为正数的数列{an}，满足a1=1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：