数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，2Sn=an，求an与an-1的关系式，并求{an}的通项公式；求和Wn=1a22-1+1

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，
（I）求a_n与a_n-1的关系式，并求{a_n}的通项公式；
（II）求和Wn=1a22-1+1a23-1+…+1a2n+1-1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由已知2Sn=(n+1)an2Sn-1=nan-1两式相减得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，移向整理得出an=nn-1an-1（n≥2）
∴ana1=anan-1•an-1an-2•…•a2a1=nn-1•n-1n-2•…•21=n，
∴a_n=n；且a₁=1也适合，
所以a_n=n．
（II）1a2n+1-1=1(n+1)2-1=1n(n+2)=12(1n-1n+2)
Wn=11•3+12•4+13•5+…+1n(n+2)=12[(1-13)+(12-14)+(13-15)+…+(1n-1-1n+1)+( 1n-1n+2)]
=12（1+12-1n+1-1n+2）=34-2n+32n(n+1)．

解析

2Sn=(n+1)an2Sn-1=nan-1

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：