已知各项均为正实数的数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an-3对于一切n∈N*成立．求a1；求数列{an}的通项公式；设bn=2

题文

已知各项均为正实数的数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3对于一切n∈N^*成立．
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=2an-1，Tn为数列{anbn}的前n项和，求证T_n＜5． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1时，4S₁=4a₁=a1 2+2a₁-3，，得a12-4a₁-3=0，
a₁=3或a₁=-1，由条件a_n＞0，所以a₁=3．      …（2分）
（Ⅱ）当n≥2时，4S_n=an2+2a_n-3，4s_n-1=an-12+2a_n-1-3；
则4S_n-4S_n-1=an2+2a_n-3-an-12-2a_n-1+3，
所以4a_n=an2+2a_n-an-12-2a_n-1，an2-2a_n-an-12-2a_n-1=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（4分）
由条件a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2，…（5分）
故正数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以a_n=2n+1．   …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）b_n=2an-1=22n+1-1=2ⁿ，anbn=2n+12n，…（8分）
∴T_n=32+522+…+2n-12n-1+2n+12n，①…（9分）
将上式两边同乘以12，得
12T_n=322+523+…+2n-12n+2n+12n+1        ②…（10分）
①-②，得
12T_n=32+222+223+…+22n-2n+12n+1=52-2n+52n+1，
即T_n=5-2n+52n．…（12分）
∵n∈N^*，∴2n+52n＞0
∴T_n＜5．…（13分）

解析

2an-1

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正实数的数列{an}的前n项.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：