已知数列{an}的前n项和Sn满足：S1=10，当n≥2时，2Sn=an．求a2，a3的值；求数列{an}的通项公式；求1a2a3+

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S₁=10，当n≥2时，2S_n=（n+4）a_n．
（1）求a₂，a₃的值；  
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求1a2a3+1a3a4+…+1anan+1的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=S₁=10，由2S_n=（n+4）a_n
令n=2，得2S₂=（2+4）a₂，即a₁+a₂=6a₂，
∴a₂=5
令n=3，得2S₃=（3+4）a₃，即2（a₁+a₂+a₃）=7a₃，
∴a₃=6
（2）∵2S_n=（n+4）a_n，2S_n-1=（n+3）a_n-1（n≥3）
两式相减，得2a_n=2（S_n-S_n-1）=（n+4）a_n-（n+3）a_n-1
即anan-1=n+3n+2(n≥3)
∴an=a1×a2a1×a3a2×…an-1an-2•anan-1=10•510•65•76…n+3n+2=n+3（n≥3）
n=2时也适合，n=1时，a₁=10不适合
∴an=10(n=1)n+3(n≥2)
（3）当n≥2时，
∵1anan+1=1(n+3)(n+4)=1n+3-1n+4
∴1a2a3+1a3a4+…1anan+1=(15-16)+(16-17)+…+(1n+3-1n+4)=15-1n+4

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn满足：S1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：