已知数列{an}是等差数列，a3=5，a5=9．数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=1-bn2(n∈N*)．求数列{an}和{bn}的通项公式；若

题文

已知数列{a_n}是等差数列，a₃=5，a₅=9．数列{b_n}的前n项和为S_n，且Sn=1-bn2(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和 T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）法一：设数列的公差为d
由题意可得a1++2d=5a1+4d=9
解得a₁=1，d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
法二：设数列的公差是d
∴d=a5-a35-3=9-52=2
∴a_n=a₅+2（n-5）=9+2n-10=2n-1
∵sn=1-bn2
当n=1时，b1=s1=1-b12
∴b₁=13
当n≥2时，b_n=s_n-s_n-1=12(1-bn)-12(1-bn-1)
=12(bn-1-bn)
∴bnbn-1=13
∴数列{b_n}是以13为首项，以13为公比的等比数列
∴b_n=b1qn-1=(13)n
（2）c_n=a_n•b_n=2n-13n
∴Tn=13+332+…+2n-13n
13Tn=132+333+…+2n-33n+2n-13n+1lll
两式相减可得，2Tn3=13+2(13+132+…+13n)-2n-13n+1
=13+29(1-13n-1)1-13-2n-13n+1
=23-2n+23n+1
Tn=1-n+13n

解析

a1++2d=5a1+4d=9

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列，a3=5，a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：