已知数列{an}满足a1=4，an+1=an+p•3n+1，a1，a2+6，a3成等差数列．求p的值及数列{an}的通项公式；

题文

已知数列{a_n}满足a₁=4，an+1=an+p•3n+1（n∈N^*，p为常数），a₁，a₂+6，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足bn=n2an-n，证明：bn≤49． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为a₁=4，an+1=an+p•3n+1，
所以a2=a1+p•31+1=3p+5；a3=a2+p•32+1=12p+6．
因为a₁，a₂+6，a₃成等差数列，所以2（a₂+6）=a₁+a₃，
即6p+10+12=4+12p+6，所以p=2．
依题意，an+1=an+2•3n+1，
所以当n≥2时，a2-a1=2•31+1，a3-a2=2•32+1，
…an-1-an-2=2•3n-2+1，an-an-1=2•3n-1+1．
相加得an-a1=2(3n-1+3n-2+…+32+3)+n-1，
所以an-a1=23(1-3n-1)1-3+(n-1)，
所以an=3n+n．
当n=1时，a1=31+1=4成立，
所以an=3n+n．                            
（Ⅱ）证明：因为an=3n+n，所以bn=n2(3n+n)-n=n23 n．
因为bn+1-bn=(n+1)23n+1-n23n=-2n2+2n+13n+1，（n∈N^*）．
若-2n²+2n+1＜0，则n＞1+32，即n≥2时，b_n+1＜b_n．
又因为b1=13，b2=49，所以bn≤49．

解析

3(1-3n-1)1-3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=4，an+1=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：