已知集合A={x|x=-2n-1，n∈N*}，B={x|x=-6n+3，n∈N*}，设Sn是等差数列{an}的前n项和，若{an}的任一项an∈A∩B，首项a1

题文

已知集合A={x|x=-2n-1，n∈N^*}，B={x|x=-6n+3，n∈N^*}，设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若{a_n}的任一项a_n∈A∩B，首项a₁是A∩B中的最大数，且-750＜S₁₀＜-300．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=(22)an+13n-9，令T_n=24（b₂+b₄+b₆+…+b_2n），试比较T_n与48n2n+1的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）根据题设可得：集合A中所有的元素可以组成以-3为首项，-2为公差的递减等差数列；集合B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的递减等差数列．
由题意，有A∩B=B，A∩B中的最大数为-3，即a₁=-3…（2分）
设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n=-3+（n-1）d，S10=10(a1+a10)2=45d-30
因为-750＜S₁₀＜-300，∴-750＜45d-30＜-300，即-16＜d＜-6
由于B中所有的元素可以组成以-3为首项，-6为公差的递减等差数列
所以d=-6m（m∈Z，m≠0），由-16＜-6m＜-6⇒m=2，所以d=-12…（5分）
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=9-12n（n∈N^*） …（6分）
（Ⅱ）bn=(22)an+13n-9=(22)n
Tn=24(b2+b4+b6+…+b2n)=24×12[1-(12)n]1-12=24(1-12n)…（8分）
Tn-48n2n+1=24-242n-48n2n+1=24(2n-2n-1)2n(2n+1)
于是确定T_n与48n2n+1的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小
由2＜2×1+1，2²＜2×2+1，2³＞2×3+1，2⁴＞2×4+1，…
可猜想当n≥3时，2ⁿ＞2n+1…（10分）
证明如下：
证法1：（1）当n=3时，由上验算可知成立．
（2）假设n=k时，2^k＞2k+1，
则2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以当n=k+1时猜想也成立
根据（1）（2）可知，对一切n≥3的正整数，都有2ⁿ＞2n+1
∴当n=1，2时，Tn＜48n2n+1，当n≥3时Tn＞48n2n+1…（13分）
证法2：当n≥3时2n=(1+1)n=C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn≥C0n+C1n+Cn-1n+Cnn=2n+2＞2n+1
∴当n=1，2时，Tn＜48n2n+1，当n≥3时Tn＞48n2n+1…（13分）

解析

10(a1+a10)2

考点

据考高分专家说，试题“已知集合A={x|x=-2n-1，n∈N.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：