在等差数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=S2b2求数列{an}通项a

题文

在等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=S2b2
（1）求数列{a_n}通项a_n；
（2）记 Tn=1S1+1S2+1S3+…+1Sn，试比较T_n与59的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）等比数列{b_n}的公比为q，结合题意可得
q+3+a2=12q=3+a2q，解之得，q=3或q=-4（负值舍去），a₂=6
∴{a_n}的公差d=a₂-a₁=3，可得a_n=3+（n-1）×3=3n．
（2）由（1），得到{a_n}的前n项和为Sn=n(3+3n)2，
∴1Sn=2n(3+3n)=23(1n-1n+1)
由此可得：Tn=1S1+1S2+…+1Sn=23(1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1)
=23(1-1n+1)=2n3(n+1)．
∴Tn-59=2n3(n+1)-59=n-59(n+1)
令n-59(n+1)＜0，得n＜5，故 n=1，2，3，4；令n-59(n+1)=0，得n=5；令n-59(n+1)＞0，得n＞5
∴当n=1，2，3，4时，Tn＜59；当n=5时，Tn=59；当 n＞5（n∈N₊）时，Tn＞59．

解析

q+3+a2=12q=3+a2q

考点

据考高分专家说，试题“在等差数列{an}中，a1=3，前n项和.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：