已知数列{an}满足a1=12，an=n2n2-1an-1+n2n+1，数列{bn}的前n项和Sn，满足：Sn=23(bn-1)．求数

题文

已知数列{a_n}满足a₁=12，a_n=n2n2-1an-1+n2n+1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和Sn，满足：Sn=23(bn-1)．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（II）设cn=2nan，①求数列{b_nc_n}前n项的和Tn，②求数列1coscncoscn+1前n项的和A_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为a_n=n2n2-1an-1+n2n+1（n≥2，n∈N^*），
所以n+1nan-nn-1an-1=n，设dn=n+1nan，
则d_n-d_n-1=n（n≥2，n∈N^*），d₁=1，
由累加法可得：dn=n(n+1)2，故an=12n2
∵Sn=23(bn-1)   ①，∴Sn+1=23(bn+1-1)   ②
②-①得Sn+1-Sn=23(bn+1-bn)=b_n+1，∴b_n+1=-2b_n
把n=1代入①式可得b₁=-2，
∴bn=(-2)n
（II）由（I）可知cn=2nan=2n12n2=n
①b_nc_n=n•（-2）ⁿ
∴Tn=1•(-2)+2•(-2)2+3•(-2)3+…+n•（-2）ⁿ
-2Tn=1•(-2)2+2•(-2)3+3•(-2)4+…+n•（-2）ⁿ⁺¹
两式相减得：3Tn=1•(-2)+(-2)2+(-3)3+…+（-2）ⁿ-n•（-2）ⁿ⁺¹
=-2[1-(-2)N]1-(-2)-n•(-2)n+1=-23[1-(-2)n]-n•(-2)n+1
故所求数列的前n项和为：Tn=-29-3n+19(-2)n+1
②∵sin1=sin[（n+1）-n]=sin（n+1）cosn-cos（n+1）sinn
∴1coscncoscn+1=sin1sin1cosncos(n+1)=sin(n+1)cosn-cos(n+1)sinnsin1cosncos(n+1)
=1sin1[tan(n+1)-tann]
故所求数列的前n项和为：
A_n=1sin1[（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+（tan（n+1）-tann）]
=1sin1[tan（n+1）-tann]

解析

n2n2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=12，an=n.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：