已知数列{an}满足：a1=6，an+1=n+2nan+(n+1)(n+2)，求a2，a3；若dn=ann(n+1)，求数列{dn}的通项公式；（3

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=6，an+1=n+2nan+(n+1)(n+2)，
（1）求a₂，a₃；
（2）若dn=ann(n+1)，求数列{d_n}的通项公式；
（3）若a_n=kC³_n+2，（其中C_n^m表示组合数），求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₂=24，a₃=60（4分）
（2）an+1=n+2nan+(n+1)(n+2)
两边同时除以（n+1）（n+2）可得an+1(n+2)(n+1)=ann(n+1)+1
d_n+1-d_n=1（3分）
所以{d_n}是等差数列，且d1=a11•2=3，
所以d_n=3+（n-1）=n+2（3分）
（3）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2）（1分）
a_n=kC³_n+2=k•n(n+1)(n+2)6，k=6（2分）
即：a_n=n（n+1）（n+2）=6C_n+2³（1分）
所以，S_n=a₁+a₂+…+a_n=6（C₃³+C₄³+C₅³++C_n+2³）（1分）
=6C_n+3⁴（2分）
=n(n+1)(n+2)(n+3)4（1分）

解析

n+2n

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=6，an+1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：