已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项．求数列{an}与{bn}的通项公

题文

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（I）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}对任意正整数n均有c1b1+c2mb2+c3m2b3+…+cnmn-1bn=（n+1）a_n+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，整理得2a₁d=d²．
∵a₁=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），
∴a_n=2n-1
由b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
易求得b_n=3^n-1
（2）当n=1时，c₁=6；
当n≥2时，cnmn-1bn=（n+1）a_n+1-na_n=4n+1，
∴c_n=（4n+1）m^n-1b_n=（4n+1）（3m）^n-1．
∴c_n=6n=1(4n+1)(3m)n-1n=2，3，4
当3m=1，即m=13时，
S_n=6+9+13+…+（4n+1）
=6+(n-1)(9+4n+1)2
=6+（n-1）（2n+5）=2n²+3n+1．
当3m≠1，即m≠13时，
S_n=c₁+c₂++c_n，即
S_n=6+9•（3m）+13•（3m）²++（4n-3）（3m）^n-2+（4n+1）（3m）^n-1．①
3mS_n=6•3m+9•（3m）²+13•（3m）³++（4n-3）（3m）^n-1+（4n+1）（3m）ⁿ．②
①-②得
（1-3m）S_n=6+3•3m+4•（3m）²+4•（3m）³++4•（3m）^n-1-（4n+1）（3m）ⁿ
=6+9m+4[（3m）²+（3m）³++（3m）^n-1]-（4n+1）（3m）ⁿ
=6+9m+4[(3m)2-(3m)n]1-3m-（4n+1）（3m）ⁿ．
∴S_n=6+9m-(4n+1)(3m)n1-3m+4[(3m)2-(3m)n](1-3m)2．
∴S_n=m=13m≠13.

解析

cnmn-1bn

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的首项a1=1，公差.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：