将函数f(x)=sin34xsin34(x+2π)sin32(x+3π)在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}．求数列{an}的

题文

将函数f(x)=sin34xsin34(x+2π)sin32(x+3π)在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(x)=sin34x•sin(34x+32π)•sin(32x+92π) 
=sin34x•(-cos34x)•cos32x=-12sin32x•cos32x=-14sin3x．
令3x=kπ+π2
解得x=kπ3+π6，k∈Z，
所以f（x）的极值点为x=kπ3+π6，k∈Z，
从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以π6为首项，π3为公差的等差数列，
∴an=π6+(n-1)•π3=2n-16π．
（2）由an=2n-16π知对任意正整数n，a_n都不是π的整数倍，
所以sina_n≠0，
从而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0，
于是bn+1bn=sinan+1sinan+2sinan+3sinansinan+1sinan+2=sinan+3sinan=sin(an+π)sinan=-1，b1=sinπ6•sinπ2•sin5π6=14，
∴{b_n}是以14为首项，-1为公比的等比数列，
∴bn=(-1)n-14．
∴an•bn=π24•(-1)n-1(2n-1)，
Sn=π24(1×1+3×(-1)+5×1+…(2n-1)•（-1）^n-1）
所以-Sn=π24(×(-1)+3×1+…(2n-3)•(-1)n-1+•（2n-1）（-1）ⁿ）
两式相减得，
数列{a_n•b_n}的前n项和为Sn=nπ24•(-1)n-1．

解析

34

考点

据考高分专家说，试题“将函数f(x)=sin34xsin34(.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：