已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn=pn2+2n．求p的值及an；若bn=2(2n-1)an，记数列{bn}的前n项和为T

题文

已知等差数列{a_n}的公差为2，其前n项和S_n=pn²+2n（n∈N^*）．
（I）求p的值及a_n；
（II）若bn=2(2n-1)an，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求使Tn＞910成立的最小正整数n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）（法一）∵{a_n}的等差数列∴Sn=na1+n(n-1)2d=na1+n(n-1)2×2=n2+(a1-1)n
又由已知S_n=pn²+2n，
∴p=1，a₁-1=2，
∴a₁=3，
∴a_n=a₁（n-1）d=2n+1    
∴p=1，a_n=2n+1；
（法二）由已知a₁=S₁=p+2，S₂=4p+4，即a₁+a₂=4p+4，
∴a₂=3p+2，
又此等差数列的公差为2，
∴a₂-a₁=2，
∴2p=2，
∴p=1，
∴a₁=p+2=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
∴p=1，a_n=2n+1；
（法三）由已知a₁=S₁=p+2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=pn²+2n-[p（n-1）²+2（n-1）]=2pn-p+2
∴a₂=3p+2，
由已知a₂-a₁=2，
∴2p=2，
∴p=1，
∴a₁=p+2=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1，
∴p=1，a_n=2n+1；
（II）由（I）知bn=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=(1-13)+(13-15)+ (15-17)+…+(12n-1-12n+1)=1-12n+1=2n2n+1
∵Tn＞910
∴2n2n+1＞910，解得n＞92   又∵n∈N₊
∴n=5

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差为2，其前n项.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：