已知数列{an}的前n项和为Sn，且对一切正整数n都有Sn=n2+12an．证明：an+1+an=4n+2；求数列{an}的通项公式；设f（n

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n都有S_n=n²+12a_n．
（1）证明：a_n+1+a_n=4n+2；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设f（n）=（1-1a1）（1-1a2）..（1-1an）2n+1，求证：f（n+1）＜f（n）对一切n∈N^×都成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵S_n=n²+12a_n．①
∴S_n+1=（n+1）²+12a_n+1．②
∴②-①得：a_n+1+a_n=4n+2；
（2）∵a_n+1+a_n=4n+2；
∴a_n+1-2（n+1）=-（a_n-2n）=…=（-1）ⁿ（a₁-2）；
又a₁=2
∴a_n=2n
（3）∵f（n）=（1-12）（1-14）（1-16）…（1-12n）2n+1
∴f(n+1)f(n)= 4n2+8n+34n2+8n+4 ＜1
∴f（n+1）＜f（n）对一切n∈N^×都成立．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且对一.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：