已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4．求数列{an}的通项公式；设bn=qn-1，求数列{bn}的前n

题文

已知等差数列{a_n}的前3项和为6，前8项和为-4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（4-a_n）q^n-1（q≠0，n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设{a_n}的公差为d，
由已知得3a1+3d=68a1+28d=-4
解得a₁=3，d=-1
故a_n=3+（n-1）（-1）=4-n；
（2）由（1）的解答得，b_n=n•q^n-1，于是
S_n=1•q⁰+2•q¹+3•q²+…+（n-1）•q^n-1+n•qⁿ．
若q≠1，将上式两边同乘以q，得
qS_n=1•q¹+2•q²+3•q³+…+（n-1）•qⁿ+n•qⁿ⁺¹．
将上面两式相减得到
（q-1）S_n=nqⁿ-（1+q+q²+…+q^n-1）
=nqⁿ-qn-1q-1
于是S_n=nqn+1-(n+1)qn+1(q-1)2
若q=1，则S_n=1+2+3+…+n=n(n+1)2
所以，S_n=nqn+1-(n+1)qn+1(q-1)2(q≠1)n(n+1)2(q=1)．

解析

3a1+3d=68a1+28d=-4

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的前3项和为6，前8.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：