已知{an}为等差数列，且a2=-1，a5=8．求数列{|an|}的前n项和；求数列{2n•an}的前n项和．

题文

已知{a_n}为等差数列，且a₂=-1，a₅=8．
（I）求数列{|a_n|}的前n项和；
（II）求数列{2ⁿ•a_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
因为a₂=-1，a₅=8，所以a1+d=-1a1+4d=8
解得a₁=-4，d=3，…（2分）
所以a_n=-4+3（n-1）=3n-7，…（3分）
因此|an|=|3n-7|=-3n+7，n=1，23n-7，n≥3…（4分）
记数列{|a_n|}的前n项和为S_n，
当n=1时，S₁=|a₁|=4，
当n=2时，S₂=|a₁|+|a₂|=5，
当n≥3时，S_n=S₂+|a₃|+|a₄|+…+|a_n|=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）
=5+(n-2)[2+(3n-7)]2=32n2-112n+10，
又当n=2时满足此式，
综上，Sn=4，n=132n2-112n+10，n≥2…（8分）
（II）记数列{2ⁿa_n}的前n项和为T_n，由（I）可知，a₁=-4，d=3，a_n=3n-7，
则Tn=2a1+22a2+23a3+…+2nan，①
2Tn=22a1+23a2+24a3+…+2nan-1+2n+1an，②
①-②可得-Tn=2a1+d(22+23+…+2n)-2n+1an
=-8+3×22(1-2n-1)1-2-2ⁿ⁺¹（3n-7）
=-8+3（2ⁿ⁺¹-4）-2ⁿ⁺¹（3n-7）
=-20-（3n-10）2ⁿ⁺¹，
故T_n=20+（3n-10）2ⁿ⁺¹…（13分）

解析

a1+d=-1a1+4d=8

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}为等差数列，且a2=-1，a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：