已知数列{an}中，a1=6，an+1=an+1，数列{bn}，点在过点A的直线l上，若l上有两点B、C，向量BC=．求数

题文

已知数列{a_n}中，a₁=6，a_n+1=a_n+1，数列{b_n}，点（n，b_n）在过点A（0，1）的直线l上，若l上有两点B、C，向量BC=（1，2）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=2 bn，在a_k与a_k+1之间插入k个c_k，依次构成新数列，试求该数列的前2013项之和；
（3）对任意正整数n，不等式（1+1b1）（1+1b2）•…•（1+1bn）-an-2+an≥0恒成立，求正数a的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+1-a_n=1且a₁=6，∴a_n=n+5，…（1分）
设l上任意一点P（x，y），则AP=（x，y-1），
由已知可得AP∥BC．
∴y=2x+1，又l过点（n，b_n），
∴b_n=2n+1．…（4分）
（2）新数列：a₁，c₁，a₂，c₂，c₂，a₃，c₃，c₃，c₃，a₄，…，a_k，c_k，…，a_k+1，
共计项数：k+1+k+12•k
经估算k=62，k+1+k+12•k=2016，项数接近2013，…（5分）
∴S₂₀₁₃=（a₁+a₂+…+a₆₂）+（1×c₁+2×c₂+…+62×c₆₂）-2c₆₂       …（6分）
令T=1×c₁+2×c₂+…+62×c₆₂，
T=1×2³+2×2⁵+3×2⁷+…+62×2¹²⁵
4T=1×2⁵+2×2⁷+…+61×2¹²⁵+62×2¹²⁷
两式相减得：T=8+185×21279     …（8分）
∴S₂₀₁₃=6+672+8+185×21279-2×2¹²⁵=2263+8+722×21259．…（9分）
（3）变量分离得：a≤(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn)2n+3恒成立．…（10分）
令g（n）=(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn)2n+3     …（11分）
∴g(n+1)g(n)=(1+1b1)(1+1b2)…(1+1bn)(1+1bn+1)2n+5×2n+3(1+1b1)(1+1b2)×…×(1+1bn)
=2n+42n+32n+5≥1…（13分）
∵{g（n）}递增数列．
∴a∈（0，g（1））=（0，4155]．…（14分）

解析

AP

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=6，an+1=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：