设双曲线x24-y2=1的右焦点为F，点P1、P2、…、Pn是其右上方一段上的点，线段|PkF|的长度为ak，

题文

设双曲线x24-y²=1的右焦点为F，点P₁、P₂、…、P_n是其右上方一段（2≤x≤25，y≥0）上的点，线段|P_kF|的长度为a_k，（k=1，2，3，…，n）．若数列{a_n}成等差数列且公差d∈（15，55），则n最大取值为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意，得a²=4，b²=1，c=a2+b2=5，可得 双曲线 的右准线为：x=a2c，即x=455
设P_k坐标为（x_k，y_k），P_k到右准线的距离为d_k（k=1，2，3，…，n），
根据双曲线的第二定义，得|PkF|dk=e=52，
∴|P_kF|=52d_k=52（x_k-455）=52x_k-2
∵|P_kF|的长度为a_k，∴a_k=52x_k-2
∵数列{a_n}成等差数列，且公差d∈（15，55），
∴an-a1n-1=52(xn-x1)n-1∈（15，55），
∵2≤x_k≤25，（k=1，2，3，…，n），公差d是正数
∴0＜x_n-x₁≤25-2，得n取最大值时d=52(25-2)n-1=5-5n-1
∴15＜5-5n-1＜55，解之得55-4＜n＜26-55
因为26-55≈14.82，所以满足条件的最大整数n=14
故答案为：14

解析

a2+b2

考点

据考高分专家说，试题“设双曲线x24-y2=1的右焦点为F，点.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：