已知等差数列{an}，其中a1=25，a4=16，求{an}的通项公式；求{an}的前n项和Sn，并求Sn的最大值．

题文

已知等差数列{a_n}，其中a₁=25，a₄=16，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求{a_n}的前n项和S_n，并求S_n的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₄-a₁=3d=-9，∴d=-3a_n=a₁+（n-1）d=25-3（n-1）=28-3n
（2）Sn=na1+n(n-1)2d=25n+n(n-1)2×(-3)=-3n22+53n2
当n=-b2a=-5322×(-32)=536时，S_n取到最大值，但n∈N^*，所以取 n=9．
此时S_n的最大值为S9=-3n22+53n2=-3×812+53×92=117
另由（1）知数列{a_n}是递减数列，要使前n项和S_n取最大值，只需满足
an≥0an+1＜0即 28-3n≥≥028-3(n+1)＜0解得 813＜n≤913，又n∈N^*
∴n=9，即前9项和最大．
这时 S9=9a1+9×82d=9×25+9×82×(-3)=117

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}，其中a1=25，a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：