已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，而数列{bn}的首项为1，bn+1-bn-2=0．求a1和a2的值；求数列{an}，{

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，而数列{b_n}的首项为1，b_n+1-b_n-2=0．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n是S_n与2的等差中项，
∴S_n=2a_n-2，∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4；
（2）∵S_n=2a_n-2①，∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2）②，
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1，即an=2an-1(n≥2，n∈N*)，
∵a₁≠0，∴anan-1=2，(n≥2，n∈N*)，即数列{a_n}是等比数列．
∵a₁=2，∴an=a1qn-1=2×2n-1=2n．
由已知得b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，
又b₁=1，∴b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（3）由c_n=a_n•b_n=（2n-1）2ⁿ，
∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n③，
∴2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1④，
③-④得：-Tn=1×2+(2×22+2×23+…2×2n)-(2n-1)2n+1．
即：-Tn=1×2+(23+24+…2n+1)-(2n-1)2n+1=2+23(1-2n-1)1-2-(2n-1)2n+1
∴Tn=(2n-3)2n+1+6．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且an.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：