等差数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=2，且s2+b2=7，s4-s3=2．求an与bn；设cn=a2n

题文

等差数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，等比数列{b_n}各项均为正数，b₁=2，且s₂+b₂=7，s₄-s₃=2．
（1）求a_n与b_n；
（2）设c_n=a2n-1a2n，T_n=c₁•c₂•c₃…c_n   求证：T n≥12n（n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a₁}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由题知：s₂+b₂=7，s₄-b₃=2，
∴d+2q=5，3d-q²+1=0，
解得，q=2或q=-8（舍去），d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，b_n=2ⁿ．
（2）证明：∵c_n=a2n-1a2n，
∴cn=2n-12n，
T_n=12×34×56×…×2n-12n．
下面用数学归纳法证明Tn≥12n对一切正整数成立．
①当n=1时，T1=12≥2×1-12×1，命题成立．
②假设当n=k时，命题当n=k时命题成立，
∴Tk≥12k．
则当n=k+1时，Tk+1=Tk•2k+12(k+1)≥12k•2k+12(k+1)=12k+1•2k+12kk+1
=12k+14k2+4k+14k2+4k≥12k+1，这就是说当n=k+1时命题成立．
综上所述原命题成立．

解析

a2n-1a2n

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}中，a1=1，前n项和为.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：