已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+12an=1(n∈N+)求数列{an}的通项公式；设bn=log13(1-Sn+1)(n∈N+)，令Tn=

题文

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且Sn+12an=1(n∈N+)
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log13(1-Sn+1)(n∈N+)，令T_n=1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁，由S1+12a1=a1+12a1=1，得：a1=23．
当n≥2时，Sn=1-12an，Sn-1=1-12an-1．
则Sn-Sn-1=12(an-1-an)，即an=12(an-1-an)，
所以an=13an-1(n≥2)．
∵a1=23≠0，∴anan-1=13．
故数列{a_n}是以23为首项，13为公比的等比数列．
故an=a1qn-1=23•(13)n-1=2•(13)n（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵Sn+12an=1，∴1-Sn=12an．
∴bn=log13(1-Sn+1)=log13(13)n+1=n+1．
∴1bnbn+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2．
所以，T_n=1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=(12-13)+(13-14)+…+(1n+1-1n+2)=12-1n+2=n2(n+2)．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：