设数列{an}为单调递增的等差数列，a1=1，且a3，a6，a12依次成等比数列．求数列{an}的通项公式an；若bn=an•2an，求数列{bn}

题文

设数列{a_n}为单调递增的等差数列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若bn=an•2an，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若cn=2an(2an)2+3•2an+2，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵数列{a_n}为单调递增的等差数列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比数列，
∴a12a6=a6a3=a12-a6a6-a3=6d3d=2，
∴1+5d=2（1+2d），
解得d=1，
∴a_n=n．…．（4分）
（Ⅱ）∵a_n=n，∴bn=an•2an=n•2ⁿ
∴数列{b_n}的前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=2×(1-2n)1-2-n×2ⁿ⁺¹
=-（2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹），
∴S_n=2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…．（13分）
（Ⅲ）∵a_n=n，
∴cn=2an(2an)2+3•2an+2
=2n(2n)2+3×2n+2
=2n(2n+1)(2n+2)
=2n-1(2n+1)(2n-1+1)
=12n-1+1-12n+1，
∴数列{c_n}的前n项和
T_n=（120+1-121+1）+（121+1-122+1）+…+（12n-1+1-12n+1）=12-12n+1．…（13分）

解析

a12a6

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}为单调递增的等差数列，a1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：