已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-12bn．求数列{an}、{

题文

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且Tn=1-12bn．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试判断n≥4时1bn与S_n+1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设a_n的首项为a₁，∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
∴a2+a5=12a2•a5=27，∴2a1+5d=12(a1+d)(a1+4d)=27
∴a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1
n=1时，b₁=T₁=1-12b₁，∴b₁=23
n≥2时，Tn=1-12bn，Tn-1=1-12bn-1，
两式相减得b_n=13b_n-1数列是等比数列，
∴b_n=23•（13）^n-1；
（2）S_n=n[1+(2n-1)]2=n²，∴S_n+1=（n+1）²，1bn=3n2
n≥4时，1bn＞S_n+1，证明如下：
下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证．
②假设当n=k （k∈N^*，k≥4）时，1bk＞S_k+1，即3k2＞（k+1）²．
那么n=k+1时，1bk+1=3k+12=3•3k2＞3（k+1）²=3k²+6k+3
=（k²+4k+4）+2k²+2k-1＞[（k+1）+1]²=S_（k+1）+1，
∴n=k+1时，结论也成立．
由①②可知n∈N^*，n≥4时，1bn＞S_n+1都成立．

解析

a2+a5=12a2•a5=27

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差d大于0，且a.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：