已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=xbx+1，数列{an}满足a1=a，1an+1=f(1an)求数列{an}的通项公式；（2

题文

已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=xbx+1（x＞0），数列{a_n}满足a₁=a，1an+1=f(1an)（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=8b，且等比数列{b_n}同时满足：①b₁=a₁，b₂=a₅；②数列{b_n}的每一项都是数列{a_n}中的某一项．试判断数列{b_n}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
（3）对问题（2）继续探究，若b₂=a_m（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{b_n}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{b_n}是无穷数列，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵1an+1=f(1an)=1anb1an+1=1an+b
∴a_n+1=a_n+b，∴数列{a_n}是以b为公差的等差数列
∵a₁=a，∴a_n=a+（n-1）b
（2）当a=8b时，a_n=（n+7）b
∴b₁=8b，b₂=12b，∴q=32，∴bn=8b•(32)n-1
∴b₃=18b，b₄=27b，b5=812b
显然，812不是整数，即b₅∉{a_n}，∴{b_n}是项数最多为4的有穷数列
（3）∵b₂=（m+7）b，∴q=m+78，此时bn=8(m+78)n-1b
i）当m=8k+1（k∈N）时，m+78=k+1为正整数，
此时{b_n}中每一项均为{a_n}中的项，∴{b_n}为无穷数列；
ii）当m=8k+5（k∈N）时，m+78=2k+32
此时当n=1，2，3，4，8(2k+32)n-1为大于8的正整数，
但n=5时，8(2k+32)4不是正整数，∴此时{b_n}是项数最多为4的有穷数列；
iii）当m=8k+2，+3，+4，+6，+7，+8（k∈N）时，
此时m+78为分母是4或8的最简分数，
只有当n=1，2时，8(2k+32)n-1才是大于8的正整数，
而当n≥3时，8(2k+32)n-1均为分数，∵{b_n}仅有两项，∴此时{b_n}不能构成等比数列．

解析

1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：