在直角坐标系xOy中，点M(2，-12)，点F为抛物线C：y=mx2的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．求m的值；过点M作直线l交抛物线C于

题文

在直角坐标系xOy中，点M(2，-12)，点F为抛物线C：y=mx²（m＞0）的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）过点M作直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k₁、k₂、k₃，问k₁，k₂，k₃能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）焦点F的坐标为(0，14m)，线段MF的中点N(1，18m-14)在抛物线C上，
∴18m-14=m，∴8m²+2m-1=0，∴m=14（m=-12舍）．  …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：抛物线C：x²=4y，F（0，1）．
设l方程为：y+12=k(x-2)，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则由y+12=k(x-2)x2=4y得：x²-4kx+8k+2=0，△=16k²-4（8k+2）＞0，
解得k＜2-62或k＞2+62． 
由韦达定理可得，x1+x2=4kx1x2=8k+2，…（8分）
假设k₁，k₂，k₃能成公差不为零的等差数列，则k₁+k₃=2k₂．
而k1+k3=y1-1x1+y2-1x2=x2y1+x1y2-x2-x1x1x2=x2x124+x1x224-x2-x1x1x2
=(x1x24-1)(x1+x2)x1x2=(8k+24-1)•4k8k+2=4k2-k4k+1，…（11分）
∵k2=-34，∴4k2-k4k+1=-32，8k²+10k+3=0，解得：k=-12＜2-62（符合题意），k=-34（此时直线l经过焦点F，k₁=k₂=k₃，不合题意，舍去），…（14分）
直线l的方程为y+12=-12(x-2)，即x+2y-1=0．
故k₁，k₂，k₃能成公差不为零的等差数列，直线l的方程为：x+2y-1=0． …（15分）

解析

14m

考点

据考高分专家说，试题“在直角坐标系xOy中，点M(2，-12).....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：