已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16求数列{an}的通项公式；数列{an}和数列{bn}满足等式an=

题文

已知数列{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}和数列{b_n}满足等式a_n=b12+b222+b323+…+bn2n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则依题意可知d＞0由a₂+a₇=16，
得2a₁+7d=16①
由a₃a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55②
由①②联立方程求得
得d=2，a₁=1或d=-2，a₁=207（排除）
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1
（2）令c_n=bn2n，则有a_n=c₁+c₂+…+c_n
a_n+1=c₁+c₂+…+c_n+1
两式相减得
a_n+1-a_n=c_n+1，由（1）得a₁=1，a_n+1-a_n=2
∴c_n+1=2，即c_n=2（n≥2），
即当n≥2时，
b_n=2ⁿ⁺¹，又当n=1时，b₁=2a₁=2
∴b_n=

解析

207

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是一个公差大于0的等差数.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：