设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk3=(Sk)3成立．

题文

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n，求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有Sk3=(Sk)3成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

若等差数列{a_n}满足Sk3=(Sk)3
则当k=1时，有s₁=s₁³，∴a₁=0或a₁=1或a₁=-1
当k=2时，有s₈=s₂ ³，即8a1+8×72d=(2a1+d)3
（1）当a₁=0时，代入上式得d=0或d=27或d=-27
①当a₁=0，d=0时，a_n=0，S_n=0
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{a_n}为：0，0，0…
②当a1=0，d=27时，an=27(n-1)，Sn=27n(n-1)2=7n(n-1)
S27≠(S3)3
∴不满足题意
③当a1=0，d=-27时，an=-27(n-1)，Sn=-27n(n-1)2= -7n(n-1)
S27≠(S3)3
∴不满足题意
（2）当a₁=1时，代入上式得d=0或d=2或d=-8
①当a₁=1，d=0时，a_n=1，S_n=n
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{a_n}为：1，1，1…
②当a₁=1，d=2时，a_n=2n-1，Sn=n2
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{a_n}为：1，3，5…
③当a₁=1，d=-8时，a_n=-8n+9，S_n=n（5-4n）
S27≠(S3)3
∴不满足题意
（3）当a₁=-1时，代入上式得d=0或d=-2或d=8
①当a₁=-1，d=0时，a_n=-1，S_n=-n
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{a_n}为：-1，-1，-1…
②当a₁=-1，d=-2时，a_n=-2n+1，Sn=-n2
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{a_n}为：-1，-3，-5…
③当a₁=-1，d=8时，a_n=8n-9，S_n=n（4n-5）
S27≠(S3)3
∴不满足题意
∴满足题意的等差数列{a_n}有：
①0，0，0…
②1，1，1…
③1，3，5…
④-1，-1，-1…
⑤-1，-3，-5…

解析

8×72

考点

据考高分专家说，试题“设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：