数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n，．当a2=-1时，求实数λ及a3；是否存在实数λ，使得数列{an}为等

题文

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）．
（Ⅰ） 当a₂=-1时，求实数λ及a₃；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=-1，a₂=（λ-3）a₁+2，
∴λ=32，故a₃=-32a2+2 ，
所以a₃=112．…（3分）
（Ⅱ）∵a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ
∴a₂=（λ-3）a₁+2=2λ-4…（4分）
a₃=（λ-3）a₂+4=2λ²-10λ+16…（5分）
若数列{a_n}为等差数列，则a₁+a₃=2a₂∴λ²-7λ+13=0…（6分）
∵△=49-4×13＜0∴方程没有实根，…（7分）
故不存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列．…（8分）
（Ⅲ）∵a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，a₁=2
若λ=3，则a_n=2^n-1（n≥2）；                       …（9分）
若λ≠3，∴a_n=（λ-3）a_n-1+2^n-1
=（λ-3）[（λ-3）a_n-2+2^n-2]+2^n-1
=（λ-3）{（λ-3）[（λ-3）a_n-3+2^n-3]+2^n-2}+2^n-1
…
=（λ-3）^n-1a₁+（λ-3）^n-2•2+（λ-3）^n-3•2²+…+（λ-3）•2^n-2+2^n-1
=（λ-3）^n-1•2+（λ-3）^n-2•2+（λ-3）^n-3•2²+…+（λ-3）•2^n-2+2^n-1
（n≥2）…（11分）
则数列（λ-3）^n-1•2，（λ-3）^n-2•2，（λ-3）^n-3•2²，…，（λ-3）•2^n-2，2^n-1
从第二项起，是一个首项为2（λ-3）^n-2，公比为2λ-3的等比数列．
如果2λ-3=1，即λ=5时，a_n=2（5-3）^n-1+（n-1）（5-3）^n-2•2=2ⁿ+（n-1）2^n-1=（n+1）•2^n-1；
当n=1时也成立．
如果2λ-3≠1，即λ≠5时，an=2(λ-3)n-1+2•(λ-3)n-2[1-(2λ-3)n-1]1-2λ-3
=2(λ-3)n-1+(λ-3)n-1•2-2nλ-5
=2λ-8λ-5(λ-3)n-1-2nλ-5
当n=1时也成立．
故数列{a_n}的通项公式为：当λ=3时，a_n=2n-1n≥22n=1；
当λ=5时，a_n=（n+1）•2^n-1；
当λ≠5且λ≠3时，a_n=2λ-8λ-5(λ-3)n-1-2nλ-5．…（14分）
说明：其他正确解法按相应步骤给分．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=2，an+1=（λ.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．