已知点在函数f=-6x-2的图象上，数列{an}的前n项和为Sn．求Sn；设cn=an+8n+3，数列{dn}满足d1

题文

已知点（n，a_n）（n∈N*）在函数f（x）=-6x-2的图象上，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n+8n+3，数列{d_n}满足d₁=c₁，dn+1=cdn（n∈N*）．求数列{d_n}的通项公式；
（Ⅲ）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x₁、x₂，恒有g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a（a为常数，且a≠0），记bn=g(dn+12)dn+1，试判断数列{b_n}是否为等差数列，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知a_n=-6n-2，故{a_n}是以a₁=-8为首项公差为-6的等差数列．
所以S_n=-3n²-5n．
（Ⅱ）因为c_n=a_n+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），dn+1=cdn=2d_n+1，因此d_n+1+1=2（d_n+1）（n∈N*）．
由于d₁=c₁=3，
所以{d_n+1}是首项为d₁+1=4，公比为2的等比数列．
故d_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，所以d_n=2ⁿ⁺¹-1．
（Ⅲ）解法一：g(dn+12)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)，
则bn=2n-1g(2)+2g(2n-1)2n+1=a4+g(2n-1)2n，b_n+1=a4+g(2n)2n+1.bn+1-bn=g(2n)2n+1-g(2n-1)2n=2n-1a+2g(2n-1)2n+1-g(2n-1)2n=a4．
因为a为常数，则数列{b_n}是等差数列．
解法二：因为g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a，
故g(dn+12)=g(2n)=2n-1g(2)+2g(2n-1)=2^n-1g（2）+2[2^n-2g（2）+2g（2^n-2）]=2×2^n-1g（2）+2²g（2^n-2）=2×2^n-1g（2）+2²[2^n-3g（2）+2g（2^n-3）]=3×2^n-1g（2）+2³g（2^n-3）═（n-1）×2^n-1g（2）+2^n-1g（2）=n•2^n-1g（2）=an•2^n-1，
所以bn=g(dn+12)dn+1=an•2n-12n+1=a4n．
则bn+1-bn=a4．
由已知a为常数，因此，数列{b_n}是等差数列．

解析

dn+12

考点

据考高分专家说，试题“已知点（n，an）（n∈N*）在函数f（.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．